สหสัมพันธ์ การวิเคราะห์ถดถอย และ ผังการกระจาย
Correlation, Regression and Scatter Diagrams

• สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ (Correlation Coefficient)

ค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ คือ ดัชนีบ่งบอกความชัดเจน หรือความรุนแรง ของสหสัมพันธ์ระหว่างตัวแปร 2 ตัว ในผังการกระจาย

• การคำนวณสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์

เมื่อให้ r คือ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของตัวอย่าง

เมื่อ n คือจำนวณคู่ของข้อมูล xy (เท่ากับจำนวนจุดบนกราฟ)
คำนวณ r ได้จากสมการ 6.1
S(xx) คือ ผลรวมของกำลังสอง ของผลต่างระหว่างค่า x แต่ละค่า กับ ค่าเฉลี่ย x บาร์ (สมการ 6.2)
S(yy) คือ ผลรวมของกำลังสอง ของผลต่างระหว่างค่า yแต่ละค่า กับ ค่าเฉลี่ย y บาร์ (สมการ 6.3)
S(xy) คือ ค่าความผันแปรร่วมกัน (Covariation) คำนวณจากสมการ 6.4

• ความหมายของค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์

• สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ มีค่าระหว่าง -1 กับ 1 หรือ (-1 >= r >= 1)
• ค่าสัมบูรณ์ของ r ที่มากกว่า 1 แสดงว่า มีการคำนวณผิดพลาด ให้คำนวณใหม่
• ค่า r ของผังการกระจายใด มีค่าใกล้ -1 หรือ 1 แสดงว่า ตัวแปรทั้งสอง มีสหสัมพันธ์กันชัดเจน
• ค่า r ของผังการกระจายใด มีค่ายิ่งใกล้ 0 แสดงว่า ตัวแปรทั้งสอง มีสหสัมพันธ์กันยิ่งน้อยลง
• ค่า r ของผังการกระจายใด มีค่าเท่ากับ 1 หรือ -1 แสดงว่า ตัวแปรทั้งสอง เป็นเส้นตรง 1 เส้น

• ตัวอย่างการคำนวณค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์

โรงงานผลิตถังพลาสติก เกิดปัญหาถังมีความหนาไม่ได้ขนาด พบว่าความหนาของถัง เป็นผลมาจากความดันลมของเครื่องเป่าถัง โดยความดันลมไม่สม่ำเสมอ จึงทดลองเก็บข้อมูลความดันลม (kgf/cm^2) กับ เปอร์เซ็นต์ถังเสีย (%) เก็บข้อมูล 30 คู่

ข้อมูลจากตาราง 6.1 นำมาคำนวณค่าต่าง ๆ แสดงในตาราง 6.2 ได้แก่ x^2 y^2 x*y SUM(x) SUM(y) SUM(x^2) SUM(y^2) SUM(x*y)

นำค่าที่คำนวณได้ในตาราง 6.2 ไปแทนค่า

• ข้อสังเกตเกี่ยวกับการวิเคราะห์สหสัมพันธ์

การวิเคราะห์สหสัมพันธ์ คือ กระบวนการสร้างผังการกระจาย และ คำนวณค่าดัชนีตัวหนึ่ง ได้แก่ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ กระบวนการวิเคราะห์นี้ มีข้อควรสังเกต หรือข้อควรระวัง เพื่อการสรุปผลที่ถูกต้อง ดังต่อไปนี้

• การกำหนดสเกลแกนนอนและแกนตั้ง

  เนื่องจากการลงจุดข้อมูลในแกน x และแกน y นำไปสู่การสังเกตลักษณะกลุ่มข้อมูล และสรุปความสัมพันธ์ระหว่าง x และ y ดังนั้นการกำหนดสเกล บนแกนทั้งสองจึงสำคัญยิ่ง เพราะการกำหนดสเกลที่ไม่เหมาะสม จะทำให้การสังเกตและสรุปผลผิดพลาดได้
  
  พิจารณา ตัวอย่างในรูป 6.4

รูป A แสดงสเกลที่เหมาะสม ทำให้เห็นรูปแบบสหสัมพันธ เป็นลบ แบบไม่ชัดเจนนัก รูป B แสดงสเกลแกน x ไม่เหมาะสม คือหยาบขึ้นเป็น 2 เท่า ทำให้ กลุ่มข้อมูล มีลักษณะการกระจาย ในแนวตั้ง มากผิดความเป็นจริง รูป C แสดงสเกลแกน y ไม่เหมาะสม คือหยาบขึ้นเป็น 2 เท่า ทำให้ กลุ่มข้อมูล มีลักษณะการกระจาย ในแนวนอน มากผิดความเป็นจริง

 

• การจำแนกข้อมูล

  กรณีที่ข้อมูลมาจาก 2 แหล่ง เช่น เครื่องจักรสองเครื่อง ผู้ผลิตสองราย หรือ พนักงานสองคน ถ้ามีการจำแนกข้อมูลด้วย เมื่อลงจุดข้อมูลในผังการกระจาย จะทำให้เห็นภาพความสัมพันธ์ และวิเคราะห์ข้อมูลได้ถูกต้องมากขึ้น

• พิสัยของตัวแปร

  การเลือกช่วงหรือพิสัยของตัวแปร (โดยเฉพาะในแกน x) ต้องกว้างพอ และ ครอบคลุมช่วงที่แท้จริง ในกระบวนการผลิต

  พิจารณา รูป 6.6
  การเลือกพิสัยแคบเกินไป ทำให้การวิเคราะห์ ผิดพลาดว่ามีสหสัมพันธ์ ทั้งที่ความจริงไม่มี่

รูป 6.3.6 ข้อมูล 30 ชุด ในช่วงแกน x ระหว่าง 0 ถึง 8 ข้อเท็จจริง แสดงว่า ข้อมูลไม่มีสหสัมพันธ์กัน รูป 6.6.1 แต่เมื่อเลือก พิสัยแกน x ระหว่าง 0 ถึง 4 มาลงจุด จะแสดงว่า เหมือน มีสหสัมพันธ ์แบบบวก รูป 6.6.2 ขณะที่เมื่อเลือก พิสัยแกน x ระหว่าง 4 ถึง 8 มาลงจุด จะกลายเป็นว่า มีสหสัมพันธ ์แบบลบ

พิจารณารูป 6.7
การเลือกพิสัยแคบเกินไป ทำให้การวิเคราะห์ ผิดพลาดจากความจริง ว่าไม่มีสหสัมพันธ์ ทั้งที่ความจริงมีสหสัมพันธ์กัน

รูป 6.3.2 ข้อมูล 30 ชุด พิสัยแกน x ระหว่าง 0 ถึง 7แสดงว่ามีสหสัมพันธ์ แบบบวก ชัดเจนพอสมควร รูป 6.7.1 แต่เมื่อตัดตอนข้อมูล 17 ชุด ในพิสัยแกน x ระหว่าง 3 ถึง 6 มาลงจุด ปรากฎว่า เหมือนกับไม่มีสหสัมพันธ์

• สหสัมพันธ์ที่ไม่เป็นจริง (False Correlation)

  เมื่อพบว่ามีสหสัมพันธ์แบบบวก ที่ชัดเจนมาก (r เกือบเป็น 1) และ ได้ข้อสรุป ว่า y แปรผันตาม x กล่าวคือเมื่อเพิ่มค่า x มีผลให้ค่า y เพิ่มด้วย
  
  อย่างไรก็ตาม เราไม่สามารถ สรุปได้ว่า ถ้าเพิ่มค่า y แล้ว จะทำให้ค่า x เพิ่มขึ้น เพราะ x เป็นเพียง ปัจจัยหนึ่งที่มีผลต่อ y อาจมีปัจจัยอื่น ๆ ที่มีผลต่อ y อีก การที่ y เพิ่มขึ้นจึงไม่จำเป็นว่าเกิดจาก x ที่เพิ่มขึ้นเพียงอย่างเดียว
  
  สหสัมพันธ์ที่ไม่เป็นจริง คือ การที่อนุมานว่า เมื่อ y เปลี่ยนแปลงตาม x แล้ว
  x จะต้องแปรผันตรงกับ y ด้วยเสมอไป ซึ่งเป็นความเข้าใจผิด ต้องระวัง การสรุปผล ย้อนกลับ จากการทำผังการกระจาย และวิเคราะหสหสัมพันธ์ แบบนี้ให้มากไว้

• แบบฝึกหัด
  จงคำนวณค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ (r) พร้อมทั้งตีความ ข้อมูลแสดงความสัมพันธ์ ระหว่าง เปอร์เซ็นต์คาร์บอนในเนื้อเหล็ก (x) กับ ความเค้นแรงดึง (y) ในตารางข้างล่าง

ผังการกระจาย

การวิเคราะห์ถดถอย